1+1은 2다. 이를 증명하기 위해서 우리는 먼저 페아노 공리계에 대해 알아야 한다.
페아노 공리계의 다섯가지 사실을 모두 만족하는 집합에 대해서 '자연수'라고 정의한다. 이 다섯가지 사실들은 다음과 같다.
1) 1은 자연수다.
2) n이 자연수면 n'(n의 후자)는 자연수다.
1' = 2, 2' = 3, 3' = 4 .. 이렇게 쓸수 있다.
3) n' = 1 인 자연수 n 은 없다.
4) m과 n 이 다르면 m'과 n'도 다르다.
3의 후자 4 와 4의 후자 5는 다르다.
5) 자연수의 부분집합 P에 대해 1∈P 이고, 모든 n∈P 에 대해 n'∈P 가 성립하면 P는 자연수 집합을 포함한다.
이로써 1과 2를 페아노 공리계로 정의하였다. 그렇다면 이제 +를 정의해보자. +의 정의는 생각보다 간단하다.
다음 두가지 성질을 만족시키는 연산을 +로 정의한다..
1) 모든 자연수 n에 대하여 n+1=n′ 이다.
2) 모든 자연수 n,m에 대하여 n+m′=(n+m)′ 이다.
따라서 1+1=2라는 것을 이렇게 다음과 같이 증명할 수 있다.
1) m+1 = m'
-여기서 m=1 을 대입하면 1+1= 1' 이 된다. 이때 1'을 2라고 부르기로 하였으므로 1+1 = 2 일수밖에 없다.
난장.